在《IRT中的能力值和难度值是如何计算的？》一文中，以Rasch模型为例，讲述了对两级计分（即0,1计分）的题目如何来计算IRT难度值，在《不同多级IRT模型 (Polytomous IRT Models) 的区别》一文中，提到了多种用于多级计分题目的IRT模型。本文将以PCM为例，讲述其各类参数值如何计算。

将《不同多级IRT模型 (Polytomous IRT Models) 的区别》一文中的等式一简化后得：

公式A：

P =(EXP Σ(θ_n -δ_ij )) / (Σ EXP Σ (θ_n -δ_ij ))，

在PCM中，测试者与0分是没有距离的，即设定：Σ (θ_n -δ_i0 ) = 0。

假设有一道0,1,2,3计分的题目，即根据公式A可得，：

Step0： Σ (θ_n -δ_i0 )=0  ,

Step1： Σ (θ_n -δ_i0 ) + θ_n -δ_i1 = θ_n -δ_i1  ,

Step2： θ_n -δ_i1 + θ_n -δ_i2 = 2θ_n -δ_i1 -δ_i2  ,

Step3： 2θ_n -δ_i1 -δ_i2 +θ_n -δ_i3 = 3θ_n -δ_i1 -δ_i2 -δ_i3  ,

继续根据公式A转化，可得：

Step0：S1= EXP (0) = 1 ,

Step1：S2= EXP (θ_n -δ_i1) ,

Step2：S3= EXP (2θ_n -δ_i1 -δ_i2) ,

Step3：S4= EXP (3θ_n -δ_i1 -δ_i2 -δ_i3 ) ,

Denominator(of formula A) = S1+S2+S3+S4 = 1+ (EXP (θ_n -δ_i1)) +(EXP (2θ_n -δ_i1 -δ_i2)) + (EXP (3θ_n -δ_i1 -δ_i2 -δ_i3 )) ,

由此，根据公式A，能力为θ_n的人在作答这道题目时，

得0分的概率为：

P0 = S1 / Denominator,

得1分的概率为：

P1 = S2 / Denominator,

在这里可以发现，Rasch模型是只有0,1两类分值的PCM的特例，即，

P1 = EXP (θ_n -δ_i1) / 1+ EXP (θ_n -δ_i1)。

得2分的概率为：

P2 = S3 / Denominator,

得3分的概率为：

P3 = S4 / Denominator,

从《IRT中的能力值和难度值是如何计算的？》一文中可知，对于0,1计分的题目来说，题目难度即为δ，未迭代前题目难度值的计算方法为：

0,1计分题目难度值δ= ln((1-p)/p)，

其中P为题目的答对率，ln()意为求括号内数值的自然对数。

多级计分题目的计算方式有所不同。

以一道0,1,2,3计分题目的各个δ值计算为例，该题目可求出3个δ_ik值，分别设定为：δ_i1、δ_i2、δ_i3 ，以及该题的整体难度值δ_i = (δ_i1 + δ_i2 + δ_i3) / 3。

接下来以实例讲述各个δ值如何计算。

假如该题有30个被试作答，作答得分分别是: c(0,2,0,0,1,2,0,1,3,2,2,1,2,1,3,2,2,2,3,1,1,1,3,2,1,3,1,3,0,3)，

首先求各分值的频率，即：得0分的有5人，得1分的有9人，得2分的有9人，得3分的有7人，那么：

δ_i1= ln((1-p₁)/p₁) = ln((1-0.643)/ 0.643) = -0.588，

其中p₁等于(得1分的人数)除以(得1分的人数加得0分的人数)，

δ_i2= ln((1-p₂)/p₂) = ln((1-0.438)/ 0.438) = 0，

δ_i3= ln((1-p₃)/p₃) = ln((1-0.438)/ 0.438) = 0.251，

题目难度δ_i = (δ_i1 + δ_i2 + δ_i3) / 3 = (-0.588 + 0 + 0.251)/3 = -0.112。

假设某作答者的能力值θ为1，那么，他作答此题

得0分的概率为：

P0 = 1 / 1+ (EXP (θ_n -δ_i1)) +(EXP (2θ_n -δ_i1 -δ_i2)) + (EXP (3θ_n -δ_i1 -δ_i2 -δ_i3 )) = 1/(1+EXP(1-(-0.588))+EXP(2-(-0.588)-0)+EXP(3-(-0.588)-0-(-0.112))) = 0.017 = 1.7% ,

其中，Denominator(of P0) = 59.64，下同，

得1分的概率为：

P1 = S2 / Denominator = EXP (θ_n -δ_i1) / 59.64 = EXP(1-(-0.588)) / 59.64 = 4.894 / 59.64 = 0.082 = 8.2% ,

得2分的概率为：

P2 = S3 / Denominator = EXP (2θ_n -δ_i1 -δ_i2) / 59.64 = EXP(2-(-0.588)-0) / 59.64 = 0.223 = 22.3% ,

得3分的概率为：

P3 = S4 / Denominator = EXP (3θ_n -δ_i1 -δ_i2 -δ_i3 ) / 59.64 = EXP(3-(-0.588)-0-(-0.112)) / 59.64 = 0.678 = 67.8% 。

可以发现：P0 + P1 + P2 + P3 = 1.7% + 8.2% + 22.3% + 67.8% = 100% 。

由《不同多级IRT模型 (Polytomous IRT Models) 的区别》一文可知，在PCM中，有三个主要的参数，分别是：𝛿_𝑖𝑘 被称为位置参数或类别参数(Category Parameter)，𝛿_𝑖被称为题目难度值(Difficulty Parameter)，𝜏_𝑖𝑘 被称为步骤参数(Step Parameter)。在上面，讲了位置参数和难度参数的计算方法。对0,1,2,3计分的题目来说，同样有三个𝜏_𝑖𝑘值。接上面的例子：

由𝜏_𝑖𝑘 = 𝛿_𝑖 − 𝛿_𝑖𝑘得：

𝜏_𝑖1 = 𝛿_𝑖 − 𝛿_𝑖1 = -0.112 – (-0.588) = 0.476,

𝜏_𝑖2 = 𝛿_𝑖 − 𝛿_𝑖2 = -0.112 – 0 = -0.112,

𝜏_𝑖3 = 𝛿_𝑖 − 𝛿_𝑖3 = -0.112 – 0.251 = -0.363。

由 Σ𝜏_𝑖𝑘  = 0 验算：

𝜏_𝑖1 + 𝜏_𝑖2 + 𝜏_𝑖3 = 0.476 – 0.112 – 0.363 ≈ 0

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